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El Baúl de los Recuerdos
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    Inicio > Historias > Imposibilidad e Improbabilidad Infinita
    > Imposibilidad e Improbabilidad Infinita <

    Señores, como hoy no hay acertijo en papelera, nos complacemos en presentarle una historia sobre los extraños entresijos del pensamiento matemático, para que tengan así algo que contar a los amigos en la próxima reunión de sociedad a la que vayan.

    Hace poco planteamos en papelera una curiosa pregunta: si la probabilidad de un suceso es cero, ¿este suceso es imposible?

    Aunque parezca mentira esta curiosidad no salió de la lectura de la guía del autoestopista galáctico, sino de una conversación de salón entre amigos. Uno de nosotros se quejó del error de la gente al decir que un suceso cuya probabilidad es cero es imposible. A mí esto me pareció un poco exagerado. Tanto lo del error como lo de la imposibilidad. Y comenzamos a discutir sobre este curioso problema. Lo cierto es que él tenía razón, al menos matemáticamente.

    El argumento es como sigue. Supongamos que tenemos una bolsita con cada uno de los números reales, o de cualquier segmento de los números reales. Cada vez que saquemos uno de estos números se está produciendo un suceso de probabilidad cero, puesto que todo número real que se saque es infinitamente improbable.

    Mi objeción fue esta: supongamos que tengo esa bolsa. Entonces la probabilidad de que saque el número Pi de ella es cero, independientemente de cuantos números saques, siempre que los saques de uno en uno (el número de sucesos será numerable, aunque esté sacando números durante toda la eternidad). Por tanto es imposible que salga el número Pi.

    El error en mi objeción es sencillo. No es imposible que salga el número Pi. Lo único que pasa es que el número Pi no saldrá de ese saco. No puedo decir que jamás saldrá, porque podría salir, pero desde luego que no saldrá. Lo sé con un 100% de confianza. Es infinitamente más probable que me lance contra una pared y la atraviese por efecto túnel a que salga Pi. Podríamos decir que más bien es un suceso inacontecible, inventandonos un curioso palabro. Pero bueno. Todo este parrafo parece tratar más sobre limitaciones del lenguaje que sobre el problema en sí.

    Sin embargo el asunto es que soy físico, y los físicos tenemos la costumbre de estropear la perfección del pensamiento matemático en aras de otras cosas, aunque en este caso la sutil diferencia la hizo notar un físico. Todo esto del experimento mental con un conjunto infinito de objetos equiprobables está muy bien, pero por desgracia me temo que jamás se daría en el mundo real. Si estuviéramos en el mundo real, en primer lugar nuestro aparato de medida para números reales tendría una ventana, un número mínimo y máximo que podría medir. Es decir, usaríamos un conjunto acotado, aunque esto no cambia en nada el argumento de arriba, por el momento. En segundo lugar, y esto lo cambia todo, tendríamos un error asociado a cada número real, por lo cual no podríamos sacar números, sino un intervalo en el que el aparato nos asegura que está el número real que hemos sacado. Yo nunca podría plantear la pregunta de si voy a sacar el número Pi, sino de si voy a sacar este número con un determinado error. Con lo cual, la probabilidad de que se sacase Pi dentro de mi intervalo de tolerancia sería pequeñísima, pero finita. En resumen, al considerar el mundo real y las limitaciones que este impone, en este caso concreto, volvemos al caso en que una improbabilidad infinita equivale a la imposibilidad.

    Pero claro, este argumento es sólo eso, un argumento. No es una demostración, sólo una sugerencia.. No tiene la claridad conceptual perfecta del argumento matemático. Así que ahí va mi pregunta: en el mundo real, ¿improbabilidad infinita e imposibilidad son equivalentes?

    2005-12-20, 20:23 | Número de nano-comentarios: 27 | Comenta aquí

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    Comentarios

    1
    De: Netito Fecha: 2005-12-20 22:29

    Pues yo creo que el planteamiento de tu amigo es incorrecto, y el tuyo puede plantearse de otra manera ;)

    La posibilidad de que salga un número real de ese saco (1/infinito) no es cero, *tiende* a cero, que no es lo mismo. Sin embargo, la posibilidad de que, digamos, un número imaginario salga de ese saco es, efectivamente 0, lo que implica que es imposible que salga del mismo.



    2
    De: Algernon Fecha: 2005-12-20 23:00

    Psicológicamente, improbabilidad completa equivale a imposibilidad, sí. Incluso una probabilidad ínfima...

    Claro que también hay gente que cree en las probabilidades ínfimas (vg. el "Gordo" de la Primitiva, o la Lotería de Navidad). Es un tema fascinante (heurísticos, toma de decisiones, riesgos, etcétera).

    Un buen enlace introductorio lo tenéis aquí.



    3
    De: malambo Fecha: 2005-12-20 23:55

    Para mi se están mezclando dos problemas: uno, como bien dices, es manejar esos problemas con el infinito, pero otro, también importante, es el de reducir el concepto de probabilidad al de frecuencia relativa.

    El concepto de probabilidad requiere que la función probabilidad P no negativa sobre el conjunto (en este caso, R), que esté normalizada, es decir P(R)=1 y que dados A y B conjuntos disjuntos de R, P(A U B) = P(A) + P(B), mientras no se defina P de esta manera no estaremos hablando de una probabilidad sino de alguna otra cosa.



    4
    De: Becario-E Fecha: 2005-12-21 00:09

    No, Netito, la probabilidad de cada suceso en ese caso es efectivamente cero. La diferencia que pones con el caso del número imaginario es otra. El número imaginario no pertenece al espacio muestral, mientras que cualquier número real con probabilidad cero sí pertenece al espacio muestral.

    Cuando lo comentamos, mi amigo aludió a un resultado de Kolmogorov en donde parece que se ve que un suceso de probabilidad cero no puede en principio descartarse del espacio muestral. No tengo ni idea si realmente Kolmogorov mostró esto, así que pediría ayuda a algún bienintencionado matemático que nos aclare el asunto.

    Por cierto, malambo, ya se ve bien "bloxito" con mozilla e hijos.

    Respecto a lo que dices de que el asunto está mal planteado, pues puede, no sabría que decir. Desde luego que el ejemplo del saco de los números reales es curioso. Si es un saco sin cotas, se vuelve realmente desafiante el ejemplo. Con cotas podría estar bien planteado con una medida, con lo cual llegaríamos a la objección del error o la indeterminación que se producirían al pasar al mundo real. No lo termino de tener claro.



    5
    De: Becario-E Fecha: 2005-12-21 00:19

    En cualquier caso no tengo dudas de que en el lenguaje común diríamos que cualquiera de los casos comentados es imposible. Pero a la hora de definir el término imposible desde un punto de vista más filosófico veo que la cosa está muy en el filo.

    También este es un ejemplo de algo que a los matemáticos les encanta: buscar excepciones muy curiosas a nociones comunes (mientras que veo que los físicos tendemos a buscar más generalizaciones). Otro ejemplo está con la noción de continuidad de una función. ¿Sabéis en cuantos puntos puede no tener derivada una función continua? En TODOS. Existen funciones continuas de una variable real para la que no podemos definir la derivada en ningún punto. Más aún, si tuvieramos en un saco todas las funciones continuas y sacaramos una al azar, como con los números reales, la probabilidad de que su derivada no existiese en ningún conjunto denso de puntos sería de 1, creo. Así que nada, las funciones no derivables en ningún punto son las infinitamente más comunes en el mundo de las ideas matemáticas.

    ¿Y qué pasa en el mundo real? Pues los dos únicos ejemplos en física en donde aparecen funciones continuas no derivables en ningún punto es en el movimiento browniano y en la integral de camino de Feynman. En el movimiento browniano esto resulta de exagerar una idealización matemática sobre el movimiento de las partículas brownianas. En el caso de la integral de Feynman es "real". Vamos, que no hay un sólo electrón en el universo ahora mismo que se esté moviendo en una trayectoria diferenciable. Claro que si en vez de tomar la interpretación de la integral de camino usamos la común en la mecánica cuántica diremos que en realidad no hay trayectoria, y eso nos la trae al fresco.

    Y sin embargo, a ver quien es el listo que encuentra un movimiento no diferenciable en todos los puntos en mecánica clásica. ¿Es entonces todo esto sólo importante en el universo matemático? Ni idea.



    6
    De: Ranstom Fecha: 2005-12-21 00:49

    Imagino que tal vez se esté cometiendo un abuso de lenguaje común provocado por el desarrollo històrico del concepto de probabilidad: el hablar de suceso "imposible" surgió de la probabilidad y variabilidad discreta (laplaciana)y no resulta automáticamente trasladable con el mismo sentido a la variabilidad contínua, cuyo desarrollo es posterior.
    Y es que el experimento no está, creo, bien planteado: extraer de una bolsita con ¿todos? los números reales una ¿bola? supone considerar numerable ese conjunto(discretizarlo), cuando la variable asociada es continua: sus valores (los reales) forman un conjunto no numerable.
    Y creo que en efecto,el tema de fondo está en los modelos matemáticos y en su correspondencia o no con la realidad física: la Física suele ser discreta (incluso Quantificada si se quiere)mientras que los modelos matemáticos probabilísticos son en muchos casos "contínuos".
    O sea que los números REALES son muy poco reales, aunque sirven eficientemente como herramientas de modelización de la realidad.



    7
    De: malambo Fecha: 2005-12-21 01:07

    Creo, como Ranstom, que el problema está en el cambio de reglas de juego o, incluso, en la falta de reglas y para responder problemas de este tipo son necesarias.

    Sin embargo no me parece que la física "suela ser discreta".

    Los campos electromagnéticos clásicos son continuos, las continuidades del espacio y el tiempo son las responsable de ciertas integrales de movimiento, al menos en mecánica clásica (justamente hoy posteé algo sobre el tema), por lo tanto, me parece que las funciones reales son algo más que "herramientas de modelización".



    8
    De: malambo Fecha: 2005-12-21 01:11

    P.s.: Bloxito se ve bien porque renuncié (al menos de momento) a las bitácoras elásticas. Una bitácora elástica es una cuyo tamaño total lo decide el tamaño de fuente que emplea el usuario. Si agrandas la letra, se agranda toda. No tiene medidas fijas, sino todas relativas a la fuente. Pero evidentemente no me funcionó. Una lástima.



    9
    De: malambo Fecha: 2005-12-21 03:35

    Gracias Ranstom, pero este no es el lugar de decírmelo, no se si me entiendes ;·)

    Respecto del espacio-tiempo granulado, yo no tendría problemas en cambiar integrales por sumatorias, pero eso ya lo hizo Plank una vez y mira dónde hemos venido a parar. :·)



    10
    De: BioMaxi Fecha: 2005-12-21 04:03

    Ejem. La probabilidad se mide a posteriori, señores. Lo que estáis jugando es con densidades de probabilidad y conceptos afines, que no son lo mismo. El razonamiento que aplicas a Pi se puede aplicar a cualquier numero real, pero una vez sacado el número se demuestra que es posible sacarlo, ergo no es imposible. Como ya han dicho, la probabilidad no es 0, sino 1/inf, que tenderá a 0, pero no lo es. Imposible e improbable no son lo mismo, ni en el límite ;-)



    11
    De: malambo Fecha: 2005-12-21 06:29

    Lo que se mide a posteriori, BioMaxi son frecuencias relativas, no la probabilidad. La probabilidad es una función que va del conjunto potencia de los "eventos" al intervalo real [0, 1] y muy bien puede determinarse de antemano.

    Un evento del mundo real con probabilidad cero es imposible en las condiciones que esa probabilidad es cero, pero no imposible a secas. ¿Qué resultado es ese "tiende a cero"? ¿no nos está faltando la palabra 'límite' por ahí?



    12
    De: vengoroso Fecha: 2005-12-21 10:12

    Corleone me ha regañado por el comentario al post anterior. Dice que los ejemplos que puse están mal definidos, y que también lo está el que estáis poniendo en este post. Como él es un friki de la teoría de la medida y estudia funciones de esas raras que comentáis más arriba, me creeré su palabra hasta que pueda obligarle a tragársela :-P
    En cualquier caso, para contentarlo bastaría que cambiáseis el experimento "sacar un número real" por "sacar un número real entre 0 y 1". En este caso ya no hay problema de asignar una función de densidad uniforme, donde la probabilidad de que el número extraido esté en un intervalo dado es la medida de Lebesgue (la longitud, para los legos) de dicho intervalo. En este caso, las probabilidades sí están bien definidas a priori, y la probabilidad de que salga un número concreto es efectivamente 0 (no "tiende a 0" es 0, sin error). Sobre las implicaciones reales de todo esto... pues que queréis que os diga, yo soy de los que les da a las ideas matemáticas existencia independiente de la realidad tangible, y creo que en su mundo platónico estas ideas son claras y exactas, pero que su aplicación al mundo llano no es más que una aproximación a cómo funciona esto, y claro, los conceptos idealizados parecen a veces absurdos al traerlos al mundo llano. Desde un punto de vista realista, el conjunto de números entre 0 y 1 que podemos obtener es finito, así que cada uno tiene probabilidad no nula, y no hay ninguna contradicción aparente, así que yo diría que la "paradoja de la imposibilidad" surge por querer aproximar una medición necesariamente discreta por un espacio continuo.
    Por cierto, que sí que existen varios modelos de espacio-tiempos discretos. Creo que la idea matemática que los sustenta (los "espacios de aproximación finitaria" a falta de una mejor traducción) se debe a Sorkin, que caracterizó en el 91 los espacios topológicos que pueden ser recuperados en el límite mediante aproximaciones finitas. Algo más tarde (en el 95-97) Giovanni Landi mostró que dichos espacios podían ser descritos como ejemplos muy particulares del paradigma de "espacio no conmutativo" de Alain Connes, y escribió un interesante libro sobre el tema ("Noncommutative spaces and their geometry", en Springer, también disponible en el ArXiV) pero creo que estoy empezando a desbarrar (¿se nota que investigué en el tema para el DEA? :-P) si a alguno os interesa mucho, me invitáis a un café y os lo cuento con más calma ;-D



    13
    De: Becario-E Fecha: 2005-12-21 11:54

    Bueno, por lo que dice vengoroso es por lo que escribí "o cualquier segmento de los números reales". Contiene el mismo número de números que todos los reales, y hace que el problema esté más rigurosamente planteado.

    En tal caso mi objección relacionada con la medida (en el sentido físico) está emparentada con la objección que hace vengoroso (y no recuerdo si alguien más) de la medida (en el sentido integral). Con lo cual probabilidad cero vuelve a equivales a imposibilidad. El ejemplo en tal caso está mal planteado porque tiene sentido hablar de la probabilidad en un entorno alrededor de un número, un entorno de tamaño tan pequeño como quieras pero no cero. Lo que no tiene sentido es hablar de la probabilidad de obtener un número concreto.

    Esto me deja tranquilo, dado que parece que todo se reduce a un problema de abuso del lenguaje, probablemente. ¡La filosofía analítica al poder!



    14
    De: Becario-E Fecha: 2005-12-21 11:59

    Lo que pasa es que entonces hay un caso curioso. Supongamos lo siguiente: sacamos un número al azar entre [0,1] (0 y 1 incuidos), pero también añadimos al espacio muestral un conjunto discreto de puntos, por ejemplo E y Pi.

    En tal caso, ¿hay que asignarle una medida, y por lo tanto un probabilidad finita a E y Pi? ¿O pueden ser todos los números del conjunto equiprobables? ¿Lo último tiene sentido, o para que el problema esté bien planteado y E y Pi estén en el espacio muestral hay que darles medida?



    15
    De: Becario-E Fecha: 2005-12-21 12:01

    Por cierto, sobre lo de espacio-tiempo discretos: todo eso no son más que teorías matemáticas basadas vagamente en teorías físicas.

    La física hoy día no puede decir si el espacio-tiempo es discreto. Ni idea. Sin embargo, os diré que en todas las teorías físicas actuales que funcionan el espacio-tiempo es continuo, y que esta conceptualización por ahora funciona muy bien.



    16
    De: Algernon Fecha: 2005-12-21 12:04

    Tal vez la psicofísica y la psicología de la percepción (desde Kant, vaya), tendrían cosillas que decir al respecto de la naturaleza del espacio/tiempo :-)



    17
    De: Becario-E Fecha: 2005-12-21 13:50

    Bueno, Kant lo que decía es que el espacio y el tiempo son subjetivos. El espacio y el tiempo en sí mismos son incognoscibles, y lo que llamamos espacio y tiempo son nuestras percepciones del espacio y el tiempo. Esto puede parece posmoderno, si lo miramos desde el punto de vista de un blogalita del siglo XXI, pero no lo es. Como teoría del conocimiento creo que no se le puede objetar nada, y no imposibilita la ciencia a pesar de ser un punto de vista idealista y no realista (aceptación de la existencia de un mundo exterior objetivo).

    La revolución coperniquiana de Kant no debe confundirse con el subjetivismo, ni ninguna negación de la ciencia. Que la percepción del espacio-tiempo dependa del sujeto no es malo. También es dependiente de representación una fotografía en blanco y negro o una radiografia, pero no decimos que sea subjetivas. Pero bueno, eso es otra historia.



    18
    De: vengoroso Fecha: 2005-12-21 15:56

    Becario-E: "En tal caso, ¿hay que asignarle una medida, y por lo tanto un probabilidad finita a E y Pi? ¿O pueden ser todos los números del conjunto equiprobables? "

    Como estás añadiendo un conjunto de medida 0, la misma función de densidad uniforme te sigue valiendo, y todos los números siguen siendo equiprobables. Si quieres añadir un intervalo, entonces te cambia la probabilidad anterior.

    Becario-E: "¿Lo último tiene sentido, o para que el problema esté bien planteado y E y Pi estén en el espacio muestral hay que darles medida?"

    Para que estén en el espacio de medida, tienes que saber medir cualquier conjunto que los contenga. Pero como decía más arriba, eso no supone ningún problema...

    Becario-E: "Por cierto, sobre lo de espacio-tiempo discretos: todo eso no son más que teorías matemáticas basadas vagamente en teorías físicas."

    Lo sé, pero molan :-D Una vez le oí decir a alguien que habían logrado recuperar el modelo Standard de partículas elementales dentro de esta teoría, pero que los físicos protestaban y decían que eso no podía estar bien porque resultaban unas predicciones raras acerca de las masas de algunas partículas. Seguramente pasaran decenios antes de que se pueda explicar algo decente o predecir algo nuevo con estas técnicas, pero como decía alguien que no recuerdo, "no dejes que la realidad te arruine una bonita teoría" ;-P



    19
    De: Becario-E Fecha: 2005-12-21 21:38

    Sí, vengoroso, la metafísica nos mola a todos, desde el mundo de las ideas de Platón a la teoría de supercuerdas.

    Y por eso Kant me resulta heórico. A pesar de su anhelo por la metafísica, destruyó sistemáticamente toda posibilidad de construir una metafísica. Y eso que era un idealista.

    Hmmmm... a ver si nos montamos nuestra forja de Planck entre los becarios.



    20
    De: Becario con leche Fecha: 2005-12-22 13:34

    El problema que tenemos aqui es un problema de definiciones. Hay que definir el concepto de PROBABILIDAD, y lo que no se atiende a esa definicion, es otra cosa. El conjunto de numeros reales es infinito, y esa es la razon por la cual la probabilidad de sacar uno concreto de ellos es cero: esta probabilidad es igual a 1/(numero de puntos en R). Si realizaramos extracciones de numeros reales, y cada vez que extrayeramos un numero lo quitaramos de la bolsa, deberiamos de realizar infinitas extracciones para sacar todos los numeros.

    El fallo esta en que estamos usando un concepto de probabilidad definido para un conjunto infinito de puntos, y lo aplicamos para deducir consecuencias sobre un conjunto finito de extracciones. Si usamos el concepto de probabilidad en un continu, su limite de un solo punto es cero, pero de ese hecho no se puede deducir nada sobre una medida discreta. Para las medidas discretas necesitariamos un concepto probabilistico diferente.



    21
    De: Estefanía Fecha: 2005-12-27 19:13

    Estoy preguntándome cómo diantres se haría la bolsa con los números reales entre 0 y 1... ¿Habría suficientes átomos en el universo para construirla? ¿Cuánto tiempo se tardaría en manufacturarla? ¿Acabaría colapsando gravitatoriamente en un agujero negro?

    ¡Cómo me gusta ser una épsilon! Si fuera una alfa como los becarios, no podría dormir con esos problemas. En cambio, son otros los que me quitan el sueño y el reposo...



    22
    De: Ranstom Fecha: 2005-12-28 02:16

    Debe haber tantos números reales en (O, 1] como en todo R. Así que la ironía de
    esta Walquiria me parece muy justificada... :-)



    23
    De: Lola Fecha: 2005-12-28 13:12

    es que en el mundo real, si queremos pensar en cosas no numerables... piensa en el tiempo. Es decir, no vamos a saber meter en una bola los reales... pero sí podemos considerar el tiempo como un continuo... Por ejemplo, la probabilidad que hay de que dos personas en diferentes partes del mundo chasqueen los dedos justo a la vez es 0.... sin embargo, puede pasar.



    24
    De: Dan Fecha: 2007-01-29 19:27

    Volviendo al tema lógico de la cuestión, (si no estoy equivocado) el cálculo de probabilidad que están empleando es sólo eso: un cálculo, una medida de probabilidad (o improbabilidad) de que ocurra el suceso, pero por más claro que sea el resultado (0 o infinito), no implica la seguridad completa de la ocurrencia del suceso. Reitero: Hace un pronóstico, NO una predicción de ocurrencia o no.



    25
    De: raman thermk Fecha: 2007-03-17 22:43

    estan pendejos



    26
    De: willimetro Fecha: 2007-07-26 03:40

    Asi como se ha cuestionado la probabilidad cero como imposibilidad, sería interesante negar el ejemplo (curioso), y cuestionar a la vez, la probabilidad uno como la total seguridad de ocurrencia XD...



    27
    De: Jose Fecha: 2007-10-15 21:05

    No dice nada de no derivabilidad. hacen que uno se meta a la pagina a perder el tiempo



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